Tolong dibantu ya :) Diketahui vektor-vektor u = ai - 12j + bk dan v = -bi + aj + ak. Sudut antara u dan v adala teta dengan Cos teta = (akar3)/4 . Proyeksi u p

Diketahui vektor-vektor u = ai – 12j + bk dan v = –bi + aj + ak. Sudut antara u dan v adala teta dengan Cos teta = (akar3)/4 . Proyeksi u pada v adalah p = 4i – 4j – 4k. Nilai dari a = [tex]-2\sqrt{14}[/tex] atau a = [tex]2\sqrt{14}[/tex]. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.  

Perkalian vektor

• u • v = u₁ •v₁ + u₂ •v₂ + u₃ •v₃
• u • v = |u| • |v| • cos α

dengan α adalah sudut antara vektor u dan vektor v

Proyeksi vektor orthogonal vektor u pada v  

=  [tex]\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|^{2}} . \bar{v}[/tex]

Panjang proyeksi vektor atau Proyeksi skalar orthogonal vektor u pada v  

=  [tex]|\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|}|[/tex]

Pembahasan

Diketahui

• u = ai – 12j + bk  
• v = –bi + aj + ak
• θ = sudut antara vektor u dan v
• cos θ = [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
• Proyeksi vektor u pada v = 4i – 4j – 4k

Ditanyakan  

Nilai a = … ?

Jawab

u • v = [tex]\left[\begin{array}{ccc}a\\-12\\b\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}-b\\a\\a\end{array}\right] [/tex]

u • v = a(–b) + (–12)(a) + b(a)

u • v =  –ab – 12a + ab

u • v = –12a

u = ai – 12j + bk

|u| = [tex]\sqrt{a^{2} + (-12)^{2} + b^{2}}[/tex]

|u| = [tex]\sqrt{a^{2} + 144 + b^{2}}[/tex]

v = –bi + aj + ak

|v| = [tex]\sqrt{(-b)^{2} + a^{2} + a^{2}}[/tex]

|v| = [tex]\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}[/tex]

|v|² = b² + 2a²

Proyeksi vektor u pada v = 4i – 4j – 4k

[tex]\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|^{2}} . \bar{v} = \left[\begin{array}{ccc}4\\-4\\-4\end{array}\right] [/tex]

[tex]\frac{-12a}{b^{2} + 2a^{2}} . \left[\begin{array}{ccc}-b\\a\\a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4\\-4\\-4\end{array}\right] [/tex]

Kita pilih

[tex]\frac{-12a}{b^{2} + 2a^{2}} . (a) = -4[/tex]

[tex]\frac{-12a^{2}}{b^{2} + 2a^{2}} = -4[/tex]

–12a² = –4(b² + 2a²)

–12a² = –4b² – 8a²

4b² = 12a² – 8a²

4b² = 4a²

b² = a²

b = a

u • v = –12a

|u| • |v| • cos θ = –12a

[tex]\sqrt{a^{2} + 144 + b^{2}} \: . \: \sqrt{b^{2} + 2a^{2}} \: . \: \frac{\sqrt{3}}{4} [/tex] = –12a

Substitusikan b = a

[tex]\sqrt{a^{2} + 144 + a^{2}} \: . \: \sqrt{a^{2} + 2a^{2}} \: . \: \frac{\sqrt{3}}{4} [/tex] = –12a

[tex]\sqrt{2a^{2} + 144} \: . \: \sqrt{3a^{2}} \: . \: \frac{\sqrt{3}}{4} [/tex] = –12a

==> kedua ruas dikuadratkan <==

[tex](\sqrt{2a^{2} + 144} \: . \: \sqrt{3a^{2}} \: . \: \frac{\sqrt{3}}{4})^{2} [/tex] = (–12a)²

(2a² + 144)(3a²) . [tex](\frac{\sqrt{3}}{4})^{2}[/tex] = 144a²

==> kedua ruas dibagi a² <==

(2a² + 144)(3) . [tex]\frac{3}{16}[/tex] = 144

(2a² + 144) . [tex]\frac{9}{16}[/tex] = 144

(2a² + 144) = 144 ÷ [tex]\frac{9}{16}[/tex]

(2a² + 144) = 144 × [tex]\frac{16}{9}[/tex]

(2a² + 144) = 16 × 16

2a² + 144 = 256

2a² = 256 – 144

2a² = 112

a² = [tex]\frac{112}{2}[/tex]

a² = 56

a = [tex]\pm \sqrt{56}[/tex]

a = [tex]\pm \sqrt{4 \times 14}[/tex]

a = [tex]\pm 2\sqrt{14}[/tex]

a = [tex]-2\sqrt{14}[/tex] atau a = [tex]2\sqrt{14}[/tex]

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang vektor

• Proyeksi vektor u pada v: brainly.co.id/tugas/10367322
• Sudut antara dua vektor: brainly.co.id/tugas/10959708
• Operasi hitung vektor: brainly.co.id/tugas/9452159

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 10

Mapel : Matematika Peminatan

Kategori : Vektor

Kode : 10.2.5

#AyoBelajar